ÁNGULOS NOTABLES.- TRUCO PARA APRENDER

Cuando empezamos a estudiar lo del seno y coseno de un ángulo, nos encontramos con los ángulos notables y las razones trigonométricas de cada uno de ellos.

 Los ángulos notables son: 0º, 30º, 45º, 60º y 90º

Estas son las razones trigonométricas de cada ángulo notable:

Ahora bien, existe un truco para recordar estos valores y no necesariamente de memoria lo que resulta muy bueno tanto para el docente en formación como para los próximos alumnos.

El truco consiste en dibujar el símbolo de una raíz algo grande. Esta raíz incluirá dos filas; en la primera fila (que será para hallar el seno)irán los números del 0 al 4 y, en la segunda fila (para hallar el coseno) se escribirán los números del 4 al 0, una vez finalizada la raíz pondremos una línea bajo ella y un dos, algo así:

Encima de la raíz ubicaremos uno a uno y en orden, los ángulos notables (del 0º, 30º, 45º, 60º y 90º).

Para saber cómo obtener el seno del ángulo notable 30º, por ejemplo, sólo tendríamos que fijarnos en el número de la fila seno (primera fila) que está debajo del ángulo 30º (segunda columna) y dividirla entre dos.

Para más información:

 https://matematicascercanas.com/2016/01/18/truco-para-las-razones-trigonometricas-de-angulos-notables/

Como bien se ha visto, tanto para recordar las funciones de trigonometría como para comprender las razones trigonométricas de los ángulos notables, hemos compartido algunos enlaces de trucos para poder conseguirlo, además de desarrollarlo parcialmente. Respecto a la investigación sobre conceptos de trigonometría consideramos la necesidad, tanto para aprender como para enseñar, el uso de varios "trucos" o "métodos", debido a la cierta complejidad del tema.

TEOREMA DE PITÁGORAS Y FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS.- TRUCO

Partes de un triángulo rectángulo:

*Hipotenusa

*Catetos (opuesto o adyacente)

La Hipotenusa es aquel lado del triángulo que se opone al ángulo de 90º. Los lados que están al costado de la hipotenusa serán los catetos. Para identificar qué cateto es el opuesto y cuál es el adyacente, nos fijamos en el ángulo. Supongamos que tenemos un ángulo alfa, pues bien, el lado que está al frente del ángulo alfa será el cateto opuesto y el lado que está al costado de dicho ángulo será el cateto adyacente. 

Así:

Definición del teorema de Pitágoras:
"En todo triángulo rectángulo la suma de los cuadrados de sus catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa".

Una vez se conozca la fórmula de Pitágoras, aprender las funciones trigonométricas será un poco más sencillo.

Funciones trigonométricas:

Existen seis funciones y son: Seno; Coseno; Tangente; Cotangente; Secante; y Cosecante.

Estas son sus abreviaturas respectivamente: Sen. Cos. Tan. Cot. Sec. Csc.

Las funciones trigonométricas se definen a partir de un punto o ángulo de referencia (alfa, beta, ...).
Ahora bien:

Existen varias formas de poder recordar estas fórmulas o sobre todo las de la primera columna puesto que las de la segunda si nos fijamos son el inverso de las primeras respectivamente.

Por ejemplo, la nemotecnia " SohCahToa" (truco)

Las letras mayúsculas de este frase se refieren al Seno; Coseno; y Tangente. Aquello que esta en medio de cada una de ellas son los elementos de cada fórmula; "o" opuesto, "h" hipotenusa, "a" adyacente. Así por ejemplo, la fórmula del seno sería cateto opuesto entre hipotenusa fijándonos en las iniciales. "SohCahToa". Ver aquí: https://youtu.be/HqA5yaKwwPE

CONCEPTOS TRIGONOMETRÍA

¿Qué es trigonometría?
La trigonometría es una rama de las Matemáticas. Proviene de la palabra "trigonon": triángulo y de la palabra "metría" que significa medida. Por lo tanto, la trigonometría vendría a ser la medición de triángulos.
Conocer las medidas de un triángulo implica conocer sus tres ángulos y sus tres lados.
Recordemos que la notación de los ángulos se hace con letras mayúsculas y la de los lados, con letras minúsculas.

¿Cómo se escribe en los triángulos, los lados y ángulos?
 Para nombrar los lados, en un triángulo cualquiera, lo podremos hacer arbitrariamente, sin embargo, los ángulos, una vez establecidos los lados, ya no pueden ir arbitrariamente sino que el ángulo que corresponde a la letra "A" irá en la parte opuesta del lado "a"; el ángulo "B" se ubicará en la parte que se encuentra opuesta al lado "b" y el ángulo "C" en el opuesto del lado "c".

Una propiedad característica de los triángulos es que la suma de sus tres ángulos siempre dará 180º.

¿Cómo hallamos las medidas de un triángulo?
Supongamos que nos dan un triángulo rectángulo con la medida de uno de sus lados y de uno de sus ángulos y nos piden hallar el resto de medidas, pues bien, para hallarlas, utilizaremos las fórmulas trigonométricas. Sin embargo, vamos a ver antes el teorema de Pitágoras.

GEOMETRÍA.- FIGURA CONVEXA Y CÓNCAVA

Diferencia entre una figura convexa y una cóncava.

Una figura es convexa si al trazar sus diagonales todas pasan por dentro de la figura, es decir, si al trazar desde un vértice de la figura al otro vértice, el trazo queda por dentro de la figura.

En la figura cóncava esto no pasaría, es decir, al trazar de un vértice a otro, el trazo queda fuera de la figura, por ejemplo del polígono.

Circunferencia y el círculo.

Bien, el círculo es una figura plana que tiene un borde que está formado por un conjunto de puntos. Este conjunto de puntos están a la misma distancia del centro del círculo. Y ese borde que limita el círculo es a lo que llamamos circunferencia.

Los elementos de la circunferencia:
*Centro
*Diámetro (segmento que parte desde un punto de la circunferencia a otro, pasando por el centro).
*Radio (segmento que parte desde el centro a cualquiera de los puntos de la circunferencia).

Ahora hablaremos de los polígonos:

Primeramente aprenderemos que todos los polígonos tienen tres elementos, que son: lados, vértices y ángulos (todos estos conceptos ya los hemos visto antes). Además, podemos clasificar a los polígonos según su número de lados.

Un polígono que tiene 3 lados se llama triángulo.

Un polígono con 4 lados se llama cuadrilátero.

Un polígono con 5 lados, se llama pentágono.

Uno de 6 lados, se llama haxágono

El de 7 lados, se llama heptágono.

El de 8, octógono.

El de 9, eneágono.

El de 10, decágono.

Los triángulos y su clasificación según sus lados y ángulos:

Los triángulos según la longitud de sus lados : 

*El triángulo equilátero. Sus 3 lados son iguales.

*El triángulo isósceles. Se caracteriza porque dos de sus lados son iguales excepto el tercero.

*El triángulo escaleno. Este en cambio tiene los tres lados completamente diferentes.

Los triángulos según sus ángulos:

Ya para finalizar veremos cómo se clasifican  los cuadriláteros:

INTRODUCCIÓN A LA MEDIDA. GEOMETRÍA

 

TEOREMA DE PITÁGORAS

El teorema consiste en que a un triángulo rectángulo se le pueden conocer las medidas de todos sus lados sin saber la longitud de uno de ellos y esto puede lograrse gracias a una fórmula matemática que dirá cuál es la medida de ese lado.
El cálculo del teorema implica que el cateto A al cuadrado + el cateto B al cuadrado es igual a la hipotenusa al cuadrado. Este teorema tiene mucha utilidad y se calcula al cuadrado debido a que dé el salen 3 formas geométricas cuadradas que es útil para muchos otros cálculos.

                                                         
🔶APRENDE MAS: https://www.youtube.com/watch?v=0WxYaIipiLQ

INTRODUCCIÓN A LA MEDIDA. GEOMETRIA

TEOREMA DE THALES

Cuando la ciudad de Mileto, situada en la costa griega, iba a ser atacada por los barcos enemigos, los soldados recurrieron a Tales. Necesitaban saber a que distancia se encontraba una nave para ajustar el tiro de sus catapultas.

El genio matemático resolvió el problema sacando una vara por la cornisa del acantilado, de tal forma que su extremo coincidiera con la visual del barco. Conociendo su altura (h), la del acantilado (a) y la longitud de la vara (v), calculó la distancia deseada (x). Parece sencillo, ¿verdad?

Observa que ahora tenemos dos triángulos semejantes, de tal forma que al ser sus lados proporcionales, podemos establecer la siguiente igualdad.

De esta forma consiguió calcular el valor de la distancia x. El resto de datos ya los conocía.

De esta forma consiguió calcular el valor de la distancia x. El resto de datos ya los conocía.

🔶APRENDE MAS: https://www.youtube.com/watch?v=e2SDoARhAwg

TIPOS DE FUNCIONES

¿CUANTOS TIPOS DE FUNCIONES HAY?

EExisten tres tipos de funciones y son:

• Inyectiva: A cada valor del primer dominio (X), le corresponde un valor DISTINTO del segundo dominio (Y).
  
• Subyectivas: Cada valor del segundo dominio (Y), tiene que tener minimo un valor del primer dominio (X)
  
• Biyectivas: Es una mezcla de las inyectivas y las suprayectivas.

GEOMETRÍA.- ÁNGULOS Y TIPOS DE ÁNGULOS

¡Vamos a seguir aprendiendo!

Ahora hablaremos sobre los ángulos.

El ángulo es una región del plano que está entre 2 semirrectas que tienen el mismo origen (o vértice).
Los elementos del ángulo son:

• El vértice
• Los lados o semirrectas
• La amplitud o abertura que tienen los lados.

Dato: La amplitud se mide en grados (para medir y construir ángulos utilizaremos el transportador)

Clasificación de los ángulos:

Por ahora nos centramos en los 5 primeros.
*Cuando un ángulo tiene menos de 90 grados lo llamaremos agudo.
*Cuando tiene 90 grados el ángulo será recto.
*Cuando tiene más de 90 grados pero menos de 180 grados, será obtuso.
*El ángulo será llano cuando tenga 180 grados.
*Cuando el ángulo mide 360 grados será completo.
Bien ya sabemos como se llama cada ángulo según su abertura. Vamos a mirar el siguiente vídeo para saber cómo usar el transportador del que hemos hablado antes:

Si nos fijamos en la imagen de la clasificación de los ángulos, estos también se clasifican según su posición. Veamos cómo:

*Los ángulos consecutivos son aquellos que están unidos por el vértice y comparten uno de los lados. Recordad, el vértice es el punto de origen.
*Los ángulos adyacentes son a la vez consecutivos porque comparte el vértice y uno de sus lados. Además, entre los dos forman un ángulo llano.
*Los ángulos opuestos por el vértice surgen cuando 2 rectas se cruzan y forman 4 ángulos. Los ángulos de arriba y abajo (opuestos) sólo se unen por el vértice. Lo mismo pasa con los ángulos de los lados (opuestos también)

Para terminar...
Teniendo en cuenta la primera clasificación (según su amplitud o abertura). Los ángulos pueden ser Complementarios o Suplementarios.
Dos ángulos son complementarios cuando la suma de sus amplitudes es igual a 90 grados.

Dos ángulos son suplementarios cuando la suma de sus amplitudes nos da como resultado 180 grados.

FIGURAS GEOMÉTRICAS

Antes de empezar, veamos un vídeo para entender que son las figuras geométricas:

Muy bien ahora que hemos visto las figuras geométricas más comunes podemos profundizar en el tema.

Vamos a empezar con la recta:

La recta es una linea que no tiene ni inicio ni fin. Sin embargo, a esta linea le podemos marcar extremos por lo que, se convertiría en segmento. El segmento es la distancia más corta entre dos puntos. Ahora bien, a los extremos del segmento los puedo nombrar con letras mayúsculas del abecedario. El segmento recibe el nombre que le damos a sus extremos, así:

Cuando a una línea recta la dividimos por un punto obtenemos dos semirrectas. A este punto con el que hemos dividido la línea recta lo llamamos punto de origen. Al punto lo podemos llamar "C" por ejemplo, y lo representamos con letra mayúscula.

A la semirrecta que va desde el punto origen a la izquierda, la podemos llamar "a" y a la semirrecta que va desde el punto origen a la derecha, la podemos llamar "b".

Recordad que las semirrectas y las rectas se escriben con letras minúsculas para diferenciarlas de los segmentos.

Pero y el plano, ¿qué es? Bueno, si en un cuadrado por ejemplo, dibujamos un punto y más abajo una recta, el plano sería ese cuadrado que incluye el punto y la recta:

 Por último, el espacio. Si la recta y el plano, cada uno son conjuntos de puntos, el espacio sería el conjunto de todos los puntos en total, tanto de la recta como del plano.

ORIENTACIÓN ESPACIAL. SISTEMAS DE REFERENCIA

ORIENTACIÓN ESPACIAL. SISTEMAS DE REFERENCIA

¡¡¡VAMOS A DIVERTIRNOS!!!

🔴MICRO ESPACIO🔴: Nos colocaremos de pie por toda la clase. La profesora pondrá en la pizarra el mapa de la clase. Esto os ayudará a poder encontrar el tesoro más fácilmente. 

 

🔴MESO ESPACIO🔴: Formaremos grupos de 5 alumnos, y cada uno tendrá un mapa. El mapa será el mismo para todos. La profesora guardará el tesoro. EL juego terminará el grupo que antes encuentre el tesoro.

FUNCIONES

º¿QUE ES UNA FUNCON?

Una funciom es una relacion entre dos variables, la cual tiene que cumplir la siguiente condición: todo valor de la variable X, le tiene que corresponder un valor y SOLO UN valor de la variable Y

Una variable puede tomar muchos valores, a ese conjunto de valores lo llamamos DOMINIO DE LA VARIABLE.

¿COMO SABEMOS SI ES UNA FUNCION?

Nosotros tenemos que comprobar que a cada valor del primer dominio, les corresponde un valor Y SOLO UN VALOR del segundo dominio. Se pueden repetir, y no vale que este fuera del dominio.

Nº RACIONALES

Antes de saber que son los números racionales, debemos saber que son los nº naturales y los enteros.

• Los nº naturales son 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9  fueron inventados por el hombre primitivo para contar cosas exactas, por ejemplo, 1 vaca, 2 patos… ya que no se podía decir tengo media vaca.
• Los nº enteros son los positivos y negativos, y se representan con un + y con un -. Se utiliza por ejemplo para decir tengo una oveja menos, pues decimos tengo -1 oveja. O si queremos decir tengo una oveja más, sería tengo +1 oveja.

Los nº racionales (Q) se representan  con una fracción. Hay dos tipos de representaciones para estos nºs

• Nº racionales limitados o exactos: estas son las fracciones de nºs decimales exactos, es decir decimales que tienen un fin, por ejemplo, de 0,22 sería 22/10.
• Nº racionales periódicos: dentro de estos hay de 2 tipos:
• Racionales puro: son los decimales que tienen solo la parte entera y el numero que se repite, por ejemplo, 0,2222... su fracción sería 2//9.
• Racionales mixtos: son los decimales que tienen parte entera, ante periodo y el nº que se repite, por ejemplo, 1, 24444... su fracción sería 124 - 12/90
• Por ultimo están los irracionales que son los que tienen decimales infinitos y que no se repiten, con lo cual no pueden tener fracción

Los números racionales también se pueden operar, sus propiedades (sumar, restar,, multiplicar y dividir) y sus propiedades son:

• Propiedad interna:  esta propiedad lo que dice que si se suma dos nº racionales, el resultado sera otro racional. 1/2 + 1/2
• Propiedad asociativa: se dice que si se suma tres o más nº racional, da igual el orden en el se se sumen, el resultado va a ser el mismo.  (1/5+1/7) +1/2 
• Propiedad conmutativa: dice que da igual como se sumen los nº racionales, el resultado va a ser el mismo.  15+12 o 12+15
• Elemento neutro:  esta propiedad dice que todo nº racional sumado o restado a 0, da ese mismo nº 5-0
• Inverso adictivo o elemento neutro: esta propiedad dice que todo nº racional  sumado o restado por da opuesto da 0.. (-5) +5

Por otro lado, también están las propiedades de la multiplicación y división. Solo cambian dos propiedades.

• Propiedad distributiva->  esta propiedad dice que al combinar sumas y multiplicaciones, el resultado es igual a la suma de los factores multiplicado por cada uno de los sumados.  3x(2+5) = 3x2 + 3x5
• Elemento neutro-> todo nº multiplicado o dividido por uno, nos dará el mismo resultado. 5x1

TANGRAM

TANGRAM

El tangram no sólo es un puzzle, sino que además se pueden actividades de investigación de áreas, perímetros, simetrías, etc.

Nos puede servir para aprender conceptos sobre la geometria plana, a parte de conseguir manipular mejor

BREVE HISTORIA DEL TANGRAM

Este juego es de origen chino, no se sabe ni quien lo inventó, ni cuando.

Cuenta la leyenda que un sirviente de un emperador chino llevaba un mosaico de cerámica, muy caro y frágil, y tropezó rompiéndolo en pedazos. Desesperado, el sirviente trató de formar de nuevo el mosaico en forma cuadrada pero no pudo. Sin embargo, se dio cuenta de que podía formar muchas otras figuras con los pedazos.

Ahora vamos a aprender nosotros solos a crear un tangram, para ello necesitamos:

• Hoja o cartulina A4.
• Tijeras
• 5 folios de distintos colores
• Regla

GEOPLANOS

Hoy vamos a trabajar los geoplanos... Antes de nada, contaros que los geoplanos nos van a servir para aprender la geometría.
Vamos a ver los tipos de geoplanos

• Ortometrico: Este es de forma cuadrada y está formado por 25 clavos.
• Circular: Es un conjunto de clavos, separados a la misma distancia y con el que podemos crear polígonos regulares es decir de 3,4,5,6,8,12 y 24 lados.  normalmente está formado por 24 clavos.
  
• Isometrico: Es de forma triangular y los clavos se colocan de forma de triangulo equilatero (triangulos con las esquinas o angulos iguales).
  

ORIENTACIÓN ESPACIAL. SISTEMAS DE REFERENCIA.

ORIENTACIÓN ESPACIAL. SISTEMAS DE REFERENCIA

🌎 NOS ORIENTAMOS POR EL ESPACIO 🌍
Actividades útiles que nos van a servir
de ejemplo.
¡Vamos a aprender divirtiéndonos!

1. Orientación del cuerpo y objetos → "El espejo y la marioneta": Un alumno hace de titiritero, realiza los movimientos que desea y su compañero (marioneta) colocado delante lo tiene que imitar.  Si el titiritero levanta la mano derecha, la marioneta tendrá que levantar la mano derecha. Y así con cada una de las acciones.

¿Lo habéis entendido? ¡Pues vamos a ello!

2. Orientación en el espacio → Con ayuda de las indicaciones dadas vamos a realizar la siguiente ficha.

3. Interpretar sistema de coordenadas: → ¡Hundir la flota! 

http://es.battleship-game.org/

4. Representar objetos tridimensionales → Vamos a crear nuestro propio objeto tridimensional... ¿Os apetece? ¡Pues vamos a ello!

 Esto es un ejemplo de lo que podríamos crear con las diferentes figuras geométricas (Pirámide, cubo, esfera...).

ORIENTACIÓN ESPACIAL. SISTEMAS DE REFERENCIA.

ORIENTACIÓN ESPACIAL. SISTEMAS DE REFERENCIA.

Para poder localizar un lugar es importante y nos va a servir de ayuda buscar un punto de referencia para poder situarnos en el espacio.

Por ejemplo: Luisa quiere ir a la farmacia. Va a tomar de referencia la frutería que está enfrente y el kiosko que se sitúa a la derecha de la farmacia.





!!!Existen muchas formas y objetos de orientación!!! 🔍

1. CROQUIS: Es un mapa pequeño, con dibujos hechos a mano que indican la ubicación de algún lugar con referencias. Nos sirve para encontrar ubicaciones que desconocemos

2. BRÚJULA: Instrumento de navegación que se usa para determinar el rumbo que queremos conseguir. Nos va a permitir saber donde se encuentran los puntos cardinales... Y OS PREGUNTARÉIS... ¿QUÉ SON LOS PUNTOS CARDINALES?: 

   3. PLANO:  Dibujo que representa un lugar visto desde arriba. Ese  lugar puede ser una habitación, una         casa, una localidad. Se utiliza para para situarnos y orientarnos correctamente. Se representan los                 elementos físicos que hay en ella, por ejemplo, los edificios, calles, plazas.

       No solo los existen planos de localidades, sino también de maquinarias, de instalaciones... etc.

  4. MAPAS: Representación plana de la superficie completa de la tierra o de solo una parte de ella.

  

PRACTICA LO APRENDIDO.- DECIMALES Y FRACCIONES

ERRORES COMUNES.- FRACCIONES

Respecto a la suma de fracciones:

Un error muy común es que al sumar se realiza de la siguiente forma: se suman los numeradores y luego los denominadores. Recordemos que para sumar fracciones con denominador distinto debemos sacar el mínimo común múltiplo primero.

Respecto a la multiplicación de fracciones:

Es importante tener en cuenta que multiplicar una fracción no es lo mismo que sumar una fracción, es decir, al resolverla, no debemos utilizar las reglas de la suma de fracciones. En la multiplicación debemos multiplicar numerador por numerador y denominador con denominador. Al final si es necesario, se debe simplificar.

Respecto a la división de fracciones:

Para dividir fracciones tenemos que multiplicar, solo que está multiplicación se realiza en cruz y no en línea como muchos cometen al empezar a operar con fracciones.

Comparar u ordenar fracciones:

Un error frecuente es pensar que, para saber qué fracción es menor y cuál mayor, hay que fijarse en los denominadores de respectivas fracciones. Sin embargo, para ordenar fracciones debemos realizar las divisiones de cada fracción y con sus resultados podremos averiguar cuál es la fracción menor y cuál la mayor. (Repasar comparación de decimales, una vez se haya dividido cada fracción, para ordenarlas). Fíjate en el error:

Así es como se puede hacer:

Recuerda que para comparar los números decimales tienen que estar expresados en la misma unidad,

aquí tienen que estar ambos en centésimas, así que añadimos 0 al 0,4= 0,40. Por lo tanto 2/5 mayor que 4/15.